1、绝密启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5 5 页，时量 120120 分钟，满分 150150 分。一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. .1.复数 z U 1 i：n：i 为虚数单位 在复平面上对应的点位于A.第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限【答案】B【解析】z = i（1+i） = i-1,所以对应点（-1,1）选B选B2某学校有男、 女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差
2、异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A.抽签法 B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法【答案】D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选D3.在锐角中 ABC ,角A,B所对的边长分别为a,b.若 2asin B 二 3b,则角 A 等于JIA. B.C.D.-12643【答案】D【解析】 由2asinB = 3b得:2sinA sinB = .3 sinB= sinA = ,A： =A =223选Dy 2x4.若变量x, y满足约束条件 x y _1 ,则 x - 2y 的最大值是A.-52B. 0C.53D.52
3、【答案】C【解析】区域为三角形，直线u = x + 2y经过三角形顶点第）时,u -5最大3选C5.函数 f xi；=2lnx 的图像与函数 g xi=x2-4x，5 的图像的交点个数为84332 _【解析】 二次函数g x =x -4x 5 的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为 x=2, g(2)=1; f(2) =21 n2=ln41所以g(2) 0,b:0)的两个焦点，P是C上一点，若IPFL+IPFb=6a,且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为【答案】.3【解析】设P点在右支上,“ m十n = 6am =| PF1|, n=|PF2|,则*n m = 4a, n=2a、m
4、n = 2a由题知,PF1F2中，PF1F2二e亠3aA【答案】3【解析】 设P点在右支上，m=|PFi|, n=|PF2|,贝Zm+n=6a= m = 4a, n=2a m - n = 2a16.设函数f (x) =axbx-cx,其中 c a 0,c b 0.(1)记集合M =(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b,则(a,b,c)w M所对应的f (x)的零点的取值集合为_(0,1_。【答案】(0,1【解析】acln 2由题知 c a, - a b = 2a，令 f (x) = 2a c = c 2( ) -1 = 0= ( ) = 2=caInEa-c_2
5、.又 Inc_In 2 0=ln 2_ln 2. 0, x2何。aaln2lnclncaa所以f(x)的零点集合为(0,1(2)若a,b,c是厶ABC 的三条边长，贝 U 下列结论正确的是 _.(写出所有正确结论的序号)1-x，1 , f x 0;2x R,使 xax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长；3若 ABC 为钝角三角形，贝Ux 1,2 ,使 f x =0.【答案】【解析】f(x) =cx(a)x(b)x-1,a: 1,b：1,X(：,1),(a)x(b)xT (ay (b)1T =a b c0 c c c cccc cc1所以正确。令 x =1,a =b =1,c =2，则 a
6、x=1,bx=1,cx=2 不能构成三角形的三条 边长.所以正确若三角形为钝角三角形，则令 a2，b2-c2：0;f(1)=a，b-c 0,f (2a2- b2-c20= X (1,2),使 f(x) =0。所以正确。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(x二)cos(x -).g(x) = 2sin2。632311(II)f(x)_g(x)=3sinx _1-cosx= sinx cosx=sin(x)_一2 2 6 2二二5二2二亠二x 2k,2k= x 2k二,2k, k Z(元)66631
7、8.(本小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的 相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好相近”的概率；(II)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】(I) p=2(H)E(Y)=469【解析】(I)由图知，三角形边界共有 12 个格点，内部共有 3 个格点.从三角形
8、上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点，共 8 对格点恰好相近”所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好相近”的概率812 3(H)三角形共有15 个格点(I)若是第一象限角，且f (: )3。求g(:)的值;5f (x) _ g(x)成立的x的取值集合。【答案】(I)(II)2k二，2k, k：=Z一3sinxcosx Jcosx -3sinx2 2 2 2二3sin x= f (：)二3sin蔥4口2 :(0,)= cos，且g(:)=2sin1 - cos：252(II)求使f(x)415与周围格点的距离不超过 1 米的
9、格点数都是 1 个的格点有 2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。所以 P(Y =51)二与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个，坐标分别为(0,0), (1,3),4(2,2),(3,1)。所以 P(Y=48)=-15与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个，坐标分别为(1,0), (2,0),(3,0),(0, 1,) ,(0, 2),(0, 3,)。所以 P(Y = 45) =615与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个，坐标分别为(1，1), (1,2),3(2,1)。所以 P(Y =42)二一15如
10、下表所示：E(Y) =51 -2481519.(本小题满分12分)如图5,在直棱柱ABCD -AQGD中，AD/BC,BAD =90 , AC _ BD,BC =1,AD = AA =3.(I) 证明：AC_BQ；(II) 求直线B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值。【答案】(I)见下(n)217【解析】(I )ABCD-A1qC1D1是直棱柱 BQ _ 面 ABCD,且 BD 面 ABCD 二 BB1_ ACX1234Y51484542频数2463概率 P246315151515.E(Y)=46(元)415又 AC _ BD,且 BD - BB B,. AC _ 面 BDB_。BQ 二面
11、BDB AC _ BQ.(证毕)()BiCiBC AD,.直线 BiCi与平面 ACDi的夹角即直线 AD 与平面 ACDi的夹角二建立直角坐标系，用向 量解题。设原点在 A 点，AB 为 Y 轴正半轴，AD 为 X 轴正半轴。设 A0,0,0,D(3,0,0),Di(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，则 AC =(1,y,0),BD =(3, y,0), AC _ BDACBD = 0= 3 - y 0 = 0, y - 0= y = 3. AC = (1, 3,0), AD| = (3,0,3).r n，AC = 0fr r设平面 ACD1的法向量为 n,则_二.平面 AC
12、D1的一个法向量 n =( -J3,1,，3), AD =(3,0,3)n -AD!= 0.平面 ACD1的一个法向量 n -3 321(-3,3), AD(3,0,0)= sinv-|cos：n,AD|- 7 37所以 BDi与平面 ACDi夹角的正弦值为 一21。(完)720.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中， 将从点M出发沿纵、 横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”如图6所示的路径MMW2M3N与路径 MN都是M到N的“路径”某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20), B(-10,0), C(14,0)处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内
13、的某一点P处修建一个文化中心。1N,Mi-yX图6(I)写出点P到居民区A的“I路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(II)若以原点0为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“I路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小。【答案】(I) d= |x -3| + |y -20|,y_0, x R.(H)当点P(x,y)满足P(3,1)时,其到三个居民区的“路径”长度值和最小为45【解析】设点 P(x, y),且 y _ 0.(I )点 P 到点 A(3,20)的“L 路径”的最短距离 d,等于水平距离垂直距离，即 d=|x -3| + |y -20|，其中y_
14、0,x R.(n)本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。点P到A,B,C三点的“路径”长度之和的最小值d =水平距离之和的最小值h +垂直距离之和的最小值V。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21;显然当 X- -10,14时，水平距离之和h=x-(-10) + 14 -x + |x-3|_24,且当x=3时，h=24.因此，当P(3,1)时，d=21+24=45.所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“路径”长度之和d的最小值为45.21.(本小题满分13分)过抛物线E:x2=2py(p 0)的焦点F作斜率分别为k1, k2的两条不
15、同的直线l1,l2，且匕k2= 2,h与 E相交于点A,B,l2与 E相交于点C, D。以AB,CD为直径的圆M，圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为I。(I)若k10,k20，证明；FM FN：2P2；(II)若点M到直线I的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程。5【答案】(I)见下(n)x2=16y【解析】(1)F (0,P).设 A(X1,yj, B(X2,y2),C(X3,y3),D(X4,y4),M(畑 加)，N&34,y34),2直线 h 方程：y 二 k“x -P,与抛物线 E 方程联立，化简整理得：- x22 pk1X p 022X1X, 2p2、=x1x2= 2匕p,x-
16、ix2=-p 0=x12二=& p, y12=心p =FM = (k1p-k1p)2 2同理，=X34 = =k2P, y34=k22p卫二FN =(k2p,-k22p).2 2二 FM FN =k1k2p2k12k22pp2k1k2(k1k21)k10, k20,K=k2,2k2 2 . &k2=&k2汨,FMFp2k1k2(k1k21p：p21 (1 1) 2p2所以，FM，FN : 2 p2成立.(证毕)(n)设圆 M、N 的半径分别为口, $ 二 *(Eyj(卫y?) =p 2(kp卫)=kp p,2 22 22 2 2=A p p,同理 2r)=k2p p,设圆M、N 的半径分别为
17、A,。则M、N 的方程分别为(x-xd2，(y-yi2)2二,(xX34)2(yy34)2冷,直线 I 的方程为：2 2 2 2 2 22(X34 -X12)X2(y34 -yi2)yX12X34yi2y34- ri20-2 2二:2 p(k2 -ki)X2 p(k2kl)y (Xl2 -X34)(X|2-X34)(yi2-y34)(yi2-y34)(2-1)(21)=2222222222222= 2p(k2-kjx2p(k2-k1)y2p2(kk2)p2(k1-k2)(k1k21p2(k2- k1)(k1k22)=022.(本小题满分13分)；记f (x)在区间 【0,4】上的最大值为g(
18、a),求g(a)的表达式;(II)是否存在a,使函数y二f (x)在区间0, 4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂 直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】g(a)=H)(J)x a= 1-3a,当 X2a,或 x_a 时,是单调递增的。【解析】a 0, f (x) =_x 2a x 2a -x a 一3a =-1 3a，当- 2a：x：a 时，是单调递减的。x 2a x 2a已知a 0，函数f (x)二x 2a2 2 2 2=x2y -p -pgk21)p(k1k22) = 0二x 2y = 0= p =8=抛物线的方程为 x =16y.(完)3a 1(I )由上知，当 a .4 时，f (x )在 x0,4上单调递