2013年高考湖南数学理科试卷及详细解答(wodr清晰版)

1、2013 年高考湖南数学理科详解数学（理工类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120 分钟，满分 150 分.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、复数（ 为虚数单位） ，在复平面上对应的点位于iiz1iA第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：选 B。考察了复数的概念和运算以及复数在坐标系中的几何意义。2、某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽查 100 名学生进行调查，则宜采取的抽样方法是A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法解析：选 D。考察了分层抽样的概念。3、在锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于ABCBA,ba,bBa3sin2AA B. C. D. 12 6 4 3解析：选 D。考察了解三角形中的边角关系，求角所以我们把边化成角，根据三角函数的值反求角度。4、若变量满足约束条件，则的最大值是yx, 112yyxxyyx2A B. C. D. 25035 25解析：选

2、 C。考察了线性规划问题，根据数型结合求解最大值。5、函数的图象函数的图象的交点个数为 xxfln2 542xxxgA B. C. D. 3210解析：选 B。考察了函数交点问题，即函数零点问题，针对零点问题，我们有如下方法解决：图像法，零点存在法，特殊值法及求导考察单调性法。6、已知是单位向量， ，若向量满足，则的取值范围是ba,0bac1baccA B. 12, 1222, 12C. D. 12, 122, 1解析：选 A。考察了向量的运算，尤其是向量的几何意义，向量与圆的关系。7、已知棱长为 的正方体的俯视图是一个面积为 的正方形，则该正方体的正视图的面积11不可能等于A1 B. C. D. 2212 212 解析：选 C。该题是很少的一类三视图没有给出具体图形的，是属于无图想图的。要求学生有比较好的空间想象力。8、在等腰直角三角形，,点是边上异于、的一点，光线从ABC4 ACABPABAB点出发，经反射后又回到点（如图 ） ，若光线经过的重心，PCAAB,P1QRABC则等于APA B. C. D. 2438 34解析：选 D。二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题

3、，每小题 5 分，共 35 分.（一）选做题（请考生在 9,10,11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9、在平面直角坐标系中，若直线（ 为参数） ，过椭圆xOy: l atytxt（为参数） ，的右顶点，则常数的值为_。 :C sin2cos3yxa解析：3。考查了参数方程与直角坐标的互换，要求学生掌握几种常见的曲线方程，属于容易题。10、已知、，则的最小值为_abRc632cba22294cba解析：12。考查了柯西不等式，属于容易题。11、如图 2，在半径为的圆中，弦相交于点,，则7OCDAB,P, 2 PBPA1PD圆心到弦的距离为_ OCD解析：，考查了圆的相交弦定理，垂径定理，属于容易题。3 2（二）必做题（1216 题）12、若，则常数的值为_ 9 02dxxTT解析：3。考查了定积分的运算，属于容易题。13、执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为_ 32, 1baa解析：9。考查了程序框图，要求学生理解程序的框图的含义。14、设是双曲线的两个焦点，是上一点，若21,FF:C0, 012222 baby axPC，且的的最小的角为，则的离心率为_

4、aPFPF62121FPF30C解析：。考查了离心率的求值。利用圆锥曲线定义，直接翻译题目条件列出式子。315、设为数列的前项和，则nS nan nnn naS211*Nn（1） _ 3a （2） _ 10021SSS解析：（1）；（2）1 1610011(1)3 216、设函数，其中， xxxcbaxf0 ac0 bc（1）记集合，则bacbacbaM三条边长，且不能构成一个三角形的,所对应的的零点的取值集合为 _ Mcba, xf（2） 若是的三条边长，则下列结论正确的是 ， （写出所有正确结论的cba,ABC序号 0,1 ,xfx,使不能构成一个三角形的三条边长Rxxxxcba,若为钝角三角形，则ABC 0,2 , 1xfx使解析：（1）；（2） |01xx三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【17】 （本小题满分 12 分）已知函数，( )sin()cos()63f xxx2( )2sin2xg x （1）若是第一象限角，且，求的值3 3( )5f( )g（2）求使成立的的取值集合( )( )f xg xx解析：( )sin()c

5、os()63f xxx3113sincoscossin2222xxxx，3sin x2( )2sin1 cos2xg xx （1）由得.又是第一象限角，所以.从而3 3( )5f3sin5cos0241( )1 cos11 sin155g （2）等价于，即.于是( )( )f xg x3sin1 cosxx 3sincos1xx.1sin()62x从而，即522,666kxkkZ Z222,3kxkkZ Z故使成立的的取值集合为( )( )f xg xx2 |22,3xkxkkZ Z 【18】 （本小题满分 12 分）某人在如图 3 所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以4及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：YkgXX1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率（2）从所种作物中随机选取一株，求她的年收获量的分布列与数学期望解析：（1）所种作

6、物总株数，其中三角形地块内部的作物株数1234515N 为，边界上的作物株数为，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结312果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种11 31236C C3328 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82 369（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量的分布列Y因为：(51)(1),(48)(2)P YP XP YP X(45)(3),(42)(4)P YP XP YP X所以只需求出即可()(1,2,3,4)P Xk k记为其“相近”作物恰有株的作物株数（）则knk1,2,3,4k 12342,4,6,3nnnn由得()knP XkN，；2(1)15P X 4(2)15P X 62(3)155P X 31(4)155P X 故所求的分布列为Y51484542P2 154 152 51 5所求的数学期望为： 2421( )5148454246151555E Y 【19】 （本小题满分 12 分）如图，在直棱柱中，1111ABCDABC D/ /ADBC090BADACBD，1BC 13A

7、DAA（1）证明：1ACB D（2）求直线与平面所成角的正弦值11BC1ACD解析：（1）如图 1 因为平面，平面，所以1BB ABCDAC ABCD1ACBB又因为，所以平面，而面，所以ACBDAC 1BB D1B D 1BB D1ACB D（2）因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面11/ /BCAD11BC1ACDAD所成的角（记为）1ACD如图 1，连接，因为棱柱是直棱柱，且，1AD1111ABCDABC D0 11190B ADBAD 所以平面，从而，又，所以四边形是11AB 11ADD A111ABAD13ADAA11ADD A正方形，于是，故平面，于是11ADAD1AD 11AB D11ADB D由（1）知，所以平面，故，在直角梯形1ACB D1B D 1ACD0 190ADB中，因为，所以，从而，故ABCDACBDBACADB Rt ABCRt DAB:，即，连接，易知是直角三角形，且ABBC DAAB3ABDA BC1AB1AB D，即222222 11121B DB BBDB BABAD121B D 在中，即，从而1Rt AB D1 1321cos721ADAD

8、BB D021cos(90)721sin7即直线与平面所成角的正弦值为11BC1ACD21 7（向量的解法略） 。【20】 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到xOyMNM的一条“路径” ，如图所示的路径与路径都是到的NL123MM M M N1MN NMN“路径” ，某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点，LxOy(3,20)A( 10,0)B 处，现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心(14,0)CxxP（1）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）PAL（2）若以原点为圆心，半径为 的圆的内部是保护区， “路径”不能进入保护区，O1L试确定点的位置，使其到三个居民区的“路径”长度之和最小PL解析：设点到居民区的“路径”长度最小值为PAL|3|20|,0,)xyxR y有题意知，点到三个居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到三个居民区的PLP“路径”长度最小值之和（记为）的最小值。Ld当时，因为1y |10|14|3| 2|20|.dxxxyy1( ) |10|14|3|d xxxx（*）|10|14|xx当且仅当时，不等式（*）中的等号成立。3x 又因为 ， （*）|10|14| 24xx当且仅当 时，不等式（*）中的等号成立。 10,14x 所以，当且仅当时，等号成立。1( )24d x 3x ，当且仅当时，等号成立。2( )2|20| 21dyyy1y 故点的坐标为时，到三个居民区的“路径”长度之和最小，且最小值为 45.P(3,1)PL当时，由于“路径”不能进入保护区，所以01yL|10|14|3|

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