平面上，给定直线l，给定任意三点不共线的四个定点A、B、C、D，求作圆锥曲线u，使之经过A、B、C、D四点，且与直线l相切。

工具/原料

  • 电脑
  • 网络画板
  • 互联网

简单情形

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    如果A、B、C、D四点，恰好有一点位于直线l上，比如D，那么圆锥曲线u就被唯一确定了，如下图的椭圆。

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    这个作图题，其实是简单的，下面是作图步骤：

    直线AB与l交于T；

    在线段CD上取非端点的点U；

    直线TU和BC交于V；

    直线AU和DV交于E，那么A、B、C、D、E五点确定唯一的圆锥曲线，就是所求作的u。

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    然而，这个问题所要考察的一般问题是，A、B、C、D四点都不在直线l上。

    这才是本文的主要问题。

    END

复杂问题

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    直线l不经过A、B、C、D任意一点，那么所要作的圆锥曲线一般有两条。

    下面详细地介绍作图方法。

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    已经声明过，A、B、C、D四点的任意三点不共线，那么先作经过A、B、C三点的圆v。

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    连接直线AB、BC、CD、DA，与l分别有交点T、U、T'、U'。

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    连接直线BT'，与圆v交于异于B的点T''；

    连接直线BU'，与圆v交于异于B的点U''。

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    连接直线AU''、CT''，交点为M；

    连接直线AC、T''U''，交点记为N。

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    直线MN与圆v交于P、P'。

    如果直线MN与圆v没有交点，就表示所求作的圆锥曲线不存在。

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    直线BP与l的交点E，是圆锥曲线u与l的可能切点；

    直线BP'与l的交点E'，是圆锥曲线u与l的另一个可能切点。

    这样，作出的圆锥曲线u一般有两个：

    ABCDE确定一个，ABCDE'确定一个；

    五点确定圆锥曲线，可以通过网络画板一步搞定。

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    两个圆锥曲线，可能是椭圆、抛物线、双曲线，或者交错存在的。

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    还有的时候，不存在满足要求的圆锥曲线。

    END

注意事项

  • 读者可以在网络画板的资源中心搜索【五元素确定二次曲线】，其中的第13、14个活页，就是本文的两个课件。
  • 读者可以查看一下，所求作的圆锥曲线，在什么情况下会不存在。
经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士。